问题引入

力学响应量有应力.应变.位移三类。对于空间问题，一共有15个未知响应函数（6，6，3);平面问题有8个未知函数（3，3，2），为了使求解函数的个数更少，我们需要对问题进行简化，因此引出平面问题。

进一步，判断一个结构发生力学响应时是否为平面问题，我们可以通过定量或者定性的方法：

• 定量：直接解出未知函数，看是否为f（x，y）。

• 定性：从结构形式，受力特点，约束特点三方面来判断。

在这里，只介绍定性的判断方法，且将平面问题又分为平面应力与平面应变。

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平面应力问题

定性判断条件：

1. 等厚度的薄板
2. 体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变
3. 面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变
4. 约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变
   （ps:中面为厚度平分面）
   ###对上述充分条件进行证明###

   按上述条件画出对应的等厚度薄板受力状态：

   

   对上图中的力学响应进行分析，得到：

   

   所以，可以得到结论：满足上述条件的问题中，只有平面上的三个应力，且都为f（x，y）函数，与Z方向无关。

   平面应变问题

   定性判断条件：

5. 很长的常截面柱体
6. 体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变
7. 面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变
8. 约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变
   （ps:横截面为Z坐标面）
   ###对上述充分条件进行证明###

   按上述条件画出对应的常截面长柱体受力状态：

   

   对上图中的力学响应进行分析，得到：

   

   所以，可以得到结论：满足上述条件的问题中，只有平面上的三个应变，且都为f（x，y）函数，与Z方向无关。

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